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Burckhardt-Institut
Abteilung Waldinventur und Fernerkundung

A W F Entwicklung statistisch basierter Schätzer für Punkt-zu-Baum Abstandsverfahren
Projekte


Hintergrund"Unendliche Population"-Ansatz Einschlussflächen-Konzept k-Baum Probeflächendesign SoftwareBewertungLiteraturverweiseKoordination & Bearbeitung

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Hinweis: Die Erläuterungen auf dieser Seite sind ein Ergebnis des Forschungsprojektes „Entwicklung eines statistisch basierten Schätzers für Punkt-zu-Baum Abstandsverfahren bei Waldinventuren“, welches im Rahmen einer Sachmittelbeihilfe durch die Deutsche Forschungsgemeinschaft gefördert wurde (KL894/7-1).
Für diese Unterstützung danken die Autoren der DFG sehr herzlich.



Hintergrund Die k-Baum Probe, bei der von einem Stichprobenpunkt die k am nächsten stehenden Bäume als Probebäume einbezogen werden, ist ein sehr arbeitsförderndes Probeflächenkonzept, solange k nicht zu groß ist. Die k-Baum Probe findet weit verbreitete Anwendung in ökologischen Erhebungen, wo auch Varianten wie die „point-centered quarter method“ (PCM) und das „T-square sampling“ zum Einsatz kommen.

Die üblichen Auswertungen von k-Baum Proben erfolgen über Expansionsfaktoren und die Vorstellung, dass der Abstand zum k-ten Baum den Radius eines virtuellen Probekreises definiere. Allerdings sind die entsprechenden Hochrechnungsformeln keine statistisch unverzerrten Schätzer, sondern meist lediglich empirische Approximationsverfahren, die im besten Fall für ganz bestimmte Punktprozesse unverzerrt sind. Zahlreiche solcher empirischer und halbtheoretischer Approximationsverfahren stehen zur Verfügung und deren Wert zeigt sich in vielen praktischen Anwendungen.

Was aber der Stichproben-Statistiker letztlich sucht, ist ein allgemeingültiger Ansatz für einen unverzerrten Schätzer – und zwar nach Möglichkeit unabhängig von der Struktur der zu untersuchenden Grundgesamtheit.


"Unendliche Population"-Ansatz Für die allgemeingültige Herleitung von Schätzern für beliebige Probeflächenkonzepte hat sich der sogenannten infinite population approach bewährt, bei welchem die Grundgesamtheit (die interessierende Waldfläche) als eine unendliche Menge dimensionsloser Punkte angesehen wird. Die akutellen Waldinventur-Lehrbücher von Gregoire und Valentine (2008) sowie von Mandallaz (2008) bauen konsequent auf diesem generalisierenden und universellen Ansatz auf:
Was durch ein Stichprobenverfahren ausgewählt wird, sind zunächst Punkte (aus der unendlichen Grundgesamtheit) – und nicht Bäume oder Probeflächen.

Natürlich haben die dimensionslosen Punkte per se keinen Wert, der auf ihnen beobachtet werden könnte. Deshalb muss eine Regel definiert werden, wie ein solcher Wert aus den umliegenden Bäumen herzuleiten ist bzw. welche Probebäume auszuwählen sind. Für gängige Probeflächenkonzepte in Waldinventuren lauten diese Regeln wie folgt:
Feste Probekreise: Alle Bäume bis zu einem Abstand r vom Stichprobenpunkt sind Probebäume. Winkelzählprobe: Alle Bäume, die vom Stichprobenpunkt aus breiter erscheinen als ein definierter Öffnungswinkel, werden Probebäume. k-Baum Probe: Die k dem Stichprobenpunkt nächststehenden Bäume sind Probebäume.

Es ist allerdings wesentlich instruktiver und für die Ableitung der Schätzer hilfreicher, den "Unendliche Population"-Ansatz aus Sicht des Einzelbaumes und nicht aus Sicht des Stichprobenpunktes zu betrachten:
Man stellt sich dazu um jeden Baum einen Bereich vor, die so genannte Einschlusszone (inclusion zone). Fällt ein Stichprobenpunkt in diese Einschlusszone, dann wird dieser Baum als Probebaum für diesen Stichprobenpunkt verwendet. Die Größe der Einschlussfläche ist damit ein Maß für die Einschlusswahrscheinlichkeit eines Baumes.

Generell gilt für Stichprobenverfahren: Ist die Einschlusswahrscheinlichkeit (hier also die Größe der Einschlussfläche) eines jeden ausgewählten Elementes (hier: Baum) bekannt, so kann der Horwitz-Thompson Schätzer unmittelbar angewendet werden.

Valentine et al. (2001) beschreiben einen Weg, wie dieser Schätzer auch auf einfache und geometrisch anschauliche Weise bestimmt werden kann: Man denkt sich dabei das Baum-Attribut gleichmäßig über die Einschlussfläche verteilt. Es ergibt sich geometrisch eine Scheibe und analytisch dadurch ein Dichtewert (nämlich die Höhe der Scheibe), der an allen Punkten der jeweiligen Einschlussfläche gleich ist.
Der Wert, der einem bestimmten Stichprobenpunkt dann letztlich als Beobachtung zugeordnet ist, ergibt sich aus der Summe der Dichtewerte der Einschlussflächen aller Bäume, die diesen Punkt überdecken.


Einschlussflächen-Konzept Für Probekreise fester Fläche beziehungsweise für die konzentrischen Probekreise sind die Einschlussflächen konstant in Form und Größe und entsprechen der Probekreisfläche.

                   

Feste Probekreise                                                                       Konzentrische Probekreise



Bei der Winkelzählprobe sind sie proportional zur Grundfläche des Baumes.

                   

Winkelzählprobe                                                                                                    




k-Baum Probeflächendesign



Während die Auswahlflächen bei festen Probekreisen oder der Winkelzählprobe durch Attribute des Baumes selbst bestimmt sind, hängen sie bei der k-Baum Probe ausschließlich von der räumlichen Anordnung der Nachbarbäume ab (Kleinn und Vilčko, 2006b).

Die Auswahlfläche eines Probebaumes ist diejenige Fläche, für die für alle enthaltenen Punkte gilt, dass dieser Baum der nächste oder 2.-nächste oder 3.-nächste... oder k.-nächste Baum ist.

Die Polygone dieser Auswahlflächen lassen sich durch die so genannten Voronoi- Diagramme bzw. Voronoi–Polygone k-ter Ordnung (Okabe et al. 1999) herleiten. Die mathematische Formulierung lautet:



Es gibt einige Vorgehensweisen, wie man das einfache (k=1) Voronoi Diagram berechnen kann. Ein rechentechnisch sehr effizienter Algorithmus ist der so gennante „plane-sweep“ Algorithmus von Fortune (1985). Dabei läuft eine sweep-Linie durch eine Fläche. Für den bereits passierten Abschnitt steht die Lösung schon fest, für den Rest noch nicht.


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   Quelle: A. Odgaard/B.K. Nielsen, 05/2001. A visual implementation of Fortune's Voronoi algorithm.

Bilden Sie Ihren virtuellen Wald und lassen Sie sich die Standflächen bzw. die Auswahlpolygone erster bis vierter Ordnung (k-Auswahl) anzeigen.

In der N-Auswahl-Version (Voreinstellung) wird ein neuer, zufallsverteilter Waldbestand gezeichnet, wenn sie auf den Button "Neu zeichnen" klicken.

In der Klickversion erzeugen Sie die Baumpositionen, indem Sie auf die graue Zeichenfläche klicken. Sie können maximal 50 Bäume erzeugen, die jeweilige Anzahl wird in der Zeichenfläche protokolliert. Überschreiten Sie die maximale Anzahl, wird die Zeichenfläche geleert und die Klickversion wird neu gestartet. Sie leeren die Zeichenfläche über den Button "Neu starten". Wenn Sie den Parameter k verändern, werden die neuen Standflächen sofort angezeigt.


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Sie können N (Anzahl Bäume) und k (Voronoi-Polygon-Ordnung) auswählen, indem Sie

    auf einen Eintrag klicken     die Pfeiltasten ↑ und ↓ benutzen     mit der Maus bei gedrückter linker Maustaste über die Auswahlliste ziehen



   ©AWF  –  F. Vilčko/H. Heydecke, 01/2008


Software


   Design Inventory LT v.1.0.1
Das Programm Design Inventory LT berechnet baumindividuelle Auswahlwahrscheinlichkeiten für die k-Baum-Probe. Die Berechnung der Auswahlwahrscheinlichkeiten basiert auf der Konstruktion von Voronoi Polygonen k-ter Ordnung. Die LT-Version dieses Programms dient vor allem zur Demonstration und damit lediglich zur graphischen Darstellung von Einschlusszonen (Auswahlwahrscheinlichkeiten).
Die Speicherung der Topologie sowie die Flächenberechnung ist in der Vollversion zu einem spätgeren Zeitpunkt geplant.


Download:    Design Inventory LT  [3.4 MB]     Manual (PDF)  [] Mindestanforderungen: Windows 2000/XP,
Administratorrechte erforderlich.



Bewertung Das hier vorgestellte Konzept zur Herleitung der Auswahflächen erlaubt die Formulierung des ersten unverzerrten Schätzers für die k-Baum-Probe, welche spätestens seit den 1950er Jahren in vielen Wald und ökologischen Inventuren Einsatz findet.

Die Herleitung ist allerdings zugegebenermaßen aufwendig, zum einen aus praktischer Sicht (da die Kartierung von Bäumen in der Umgebung der Probebäume erforderlich ist); zum anderen aber auch aus rechentechnischer Sicht (da die programmtechnische Realisierung von Voronoi Diagrammen höherer Ordnung keine triviale Angelegenheit ist).
Ein praktischer Einsatz des Schätzers wird erst dann effizient möglich sein, wenn entsprechende Techniken zur Kartierung von Baumpositionen entwickelt sind. Möglicherweise lassen sich aber auch Regressionsbeziehungen zwischen den ohnehin gemessenen Baumabständen und der Größe der Auswahlflächen ableiten. Mit diesen Fragestellungen befassen wir uns derzeit.

Es ist jetzt allerdings möglich, im Rahmen von Simulationsstudien den unverzerrten Schätzer für Mittelwert und Varianz zu vergleichen mit den empirischen Schätzern, wie sie üblicherweise Einsatz finden. Entsprechende Studien sind in Vorbereitung.

Ebenfalls sollte es möglich sein, nach diesem Ansatz einen unverzerrten Schätzer für die Point-Centered-Quarter Method und einen für das T-Square Sampling zu entwickeln. Das wird recht anspruchsvoll sein und ist Gegenstand weiterer Studien an der Abteilung für Waldinventur und Fernerkundung.


Literaturverweise Gregoire, T.G. and H.T. Valentine. 2008: Sampling Strategies for Natural Resources and the Enviroment. Applied Enviromental Statistic. Chapman & Hall. 474p.

Kleinn, C. and F. Vilčko. 2006a: A new empirical approach for estimation in k-tree sampling. Forest Ecology and Management. 237 (2): 522-533.

Kleinn, C. and F. Vilčko. 2006b: Design-unbiased estimation for point-to-tree distance sampling. Canadian Journal of Forest Research. 36 (6): 1407-1414.

Kleinn, C. und F. Vilčko. 2005: Ein Vergleich von zwei methodischen Konzepten für die Grundgesamtheit von Probeflächen bei Waldinventuren. Allgemeine Forst und Jagdzeitung, 176 (4): 68-74.

Mandallaz, D. 2008: Sampling Techniques for Forest Inventories. Applied Enviromental Statistic. Chapman & Hall. 256p.

Okabe, A., B. Boots, K. Sugihara and S.N. Chiu. 1999: Spatial Tessellations – Concepts and Applications of Voronoi Diagrams. Second Edition. Wiley. 671p.

Valentine, H.T., J.H. Gove and T.G. Gregoire. 2001: Monte Carlo approaches to sampling forested tracts with lines and points. Canadian Journal of Forest Research. 31: 1410-1424.


Koordination und Bearbeitung Prof. Dr. Christoph Kleinn
Burckhardt-Institut der Fakultät für Forstwissenschaften und Waldökologie
Georg-August-Universität Göttingen
Abteilung Waldinventur und Fernerkundung
Büsgenweg 5
D-37077 Göttingen
Tel. +49 551 39-3473
CKleinn@gwdg.de


Dr. František Vilčko
Burckhardt-Institut der Fakultät für Forstwissenschaften und Waldökologie
Georg-August-Universität Göttingen
Abteilung Waldinventur und Fernerkundung
Büsgenweg 5
D-37077 Göttingen
Tel: +49 551 39-9837
FVilcko@gwdg.de